군론

군(Group) : 임의의 두 원소를 조합해 제 3의 원소를 만드는 연산을 갖춘 원소의 집합.

집합과 연산이 군을 정의하기 위해서는, 즉 특정 연산이 group by composition of maps를 만족(satisfy)하기 위해서는 아래의 네 가지 주요 성질 또는 군 공리를 만족해야 한다:

1. Closure : 집합의 임의의 두 원소 a와 b에 대하여, 종종 a ⋅ b 또는 ab로 표기되는 연산의 결과도 집합의 원소이어야 한다. 이는 집합의 원소에 군 연산을 적용하면 집합 밖의 원소가 절대로 생성되지 않는다는 것을 의미한다.

2. Associety : 집합 내의 임의의 세 원소 a, b, c에 대하여, 연산의 결과는 원소들의 그룹화에 의존해서는 안 된다. 즉, 방정식 (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)는 항상 성립해야 한다. 연관성은 연산이 수행되는 순서가 결과에 영향을 미치지 않도록 보장한다.

3. Identity : 집합 내의 모든 원소 a에 대하여 e 방정식이 성립하도록 집합 내에 e ⋅ a = a로 표시되는 원소가 반드시 존재해야 한다. 이 원소 e는 그 원소와 결합하는 어떤 원소도 변경시키지 않기 때문에 정체성 원소라고 불린다.

4. Inverses : 집합의 모든 원소 a에 대하여, 집합에는 a ⋅ b = b ⋅ a = e가 있고, 여기서 e는 항등원이다. 원소 b를 a의 역이라고 하며, 종종  a^{-1}로 표시한다.

집합과 연산이 이 네 가지 조건을 만족할 때 군 구조를 갖는다.